> Machine Learning Guru|

Закон больших чисел — фундаментальный результат теории вероятностей, который объясняет механику диверсификации в инвестиционных портфелях. Понимание его слабой и сильной формулировок позволяет оценить границы применимости диверсификации и избежать типичных ошибок при построении портфелей.

Слабый закон больших чисел

Слабый закон утверждает, что среднее арифметическое независимых одинаково распределенных случайных величин сходится по вероятности к математическому ожиданию:

P(|X̄ₙ — μ| > ε) → 0 при n → ∞

где:

• X̄ₙ — выборочное среднее n наблюдений;
• μ — математическое ожидание;
• ε — произвольное положительное число;
• P — вероятность события.

Закон гарантирует, что при увеличении числа наблюдений вероятность большого отклонения выборочного среднего от истинного среднего стремится к нулю. Для инвестиций это означает: чем больше независимых активов в портфеле, тем ближе фактическая доходность к ожидаемой.

Сильный закон больших чисел

Сильный закон формулирует более сильное утверждение о сходимости выборочного среднего:

P(lim(n→∞) X̄ₙ = μ) = 1

Разница между двумя законами следующая:

• Слабый закон больших чисел утверждает, что выборочное среднее сходится к математическому ожиданию по вероятности. Это означает, что вероятность заметного отклонения уменьшается при увеличении объема выборки;
• Сильный закон больших чисел утверждает почти наверную сходимость: с вероятностью 1 последовательность выборочных средних в пределе совпадает с истинным математическим ожиданием.

Почти наверная сходимость означает, что если мы будем увеличивать размер выборки бесконечно, то со 100%-ной вероятностью (за исключением событий, вероятность которых равна 0) выборочное среднее действительно приблизится и «прилипнет» к математическому ожиданию. То есть возможно, что существует какой-то исключительный случай, когда среднее не сойдется, но вероятность этого случая настолько мала, что фактически равна нулю.

Для портфельного управления сильный закон важнее: он гарантирует, что при достаточно длительном периоде инвестирования и правильной диверсификации доходность портфеля приблизится к ожидаемой. Слабый закон дает лишь вероятностную оценку на каждом шаге.

Математическое обноснование

Портфель из n активов с весами wᵢ и доходностями rᵢ имеет доходность:

rₚ = Σ wᵢ × rᵢ

где:

• rₚ — доходность портфеля;
• wᵢ — вес i-го актива в портфеле;
• rᵢ — доходность i-го актива;
• n — число активов.

Если активы независимы и имеют одинаковое распределение доходностей, то дисперсия равновзвешенного портфеля:

σₚ² = σ²/n

где:

• σₚ² — дисперсия портфеля;
• σ² — дисперсия отдельного актива;
• n — число активов в портфеле.

Волатильность портфеля снижается пропорционально квадратному корню из числа активов. Это прямое следствие закона больших чисел: увеличение n уменьшает разброс средней доходности вокруг ожидаемого значения.

Условия применимости

Закон больших чисел требует выполнения двух условий:

1. Независимость наблюдений. Доходности активов не должны систематически двигаться вместе. В реальности финансовые активы коррелируют — особенно в периоды кризисов. Корреляция снижает эффективность диверсификации.
2. Идентичность распределений. Активы должны иметь одинаковое распределение доходностей. На практике акции разных компаний имеют разные профили риск-доходность. Это требование менее важно в портфельной оптимизации: закон работает и при некотором разбросе параметров распределений.

Ограничения в реальных условиях

Финансовые рынки нарушают оба условия применимости закона больших чисел. Корреляции между активами положительны и нестабильны во времени. В спокойные периоды корреляции низкие (0.2-0.4 для акций разных секторов), в кризисы возрастают до 0.7-0.9. Этот эффект называется сломом корреляции или correlation breakdown.

Распределения доходностей нестационарны: параметры меняются со временем. Волатильность акций технологических компаний в 2020-2021 отличалась от волатильности в 2022-2023. Математическое ожидание доходности также нестабильно.

Следствие для практики: диверсификация снижает риск, но не устраняет его полностью. Существует систематический риск, который невозможно диверсифицировать.

Диверсификация как практическое применение

Систематический и несистематический риск

Общий риск актива разделяется на две компоненты:

σ² = σ²ₛᵧₛₜ + σ²ᵤₙₛᵧₛₜ

где:

• σ² — общая дисперсия доходности;
• σ²ₛᵧₛₜ — систематический риск (рыночный);
• σ²ᵤₙₛᵧₛₜ — несистематический риск (специфичный для актива).

Диверсификация устраняет только несистематический риск. Систематический риск присущ всему рынку и сохраняется в любом портфеле. Закон больших чисел работает именно для несистематической компоненты: при усреднении по многим активам их специфические риски взаимно погашаются.

Оптимальное число активов

По результатам множества исследований 90-95% выгоды от диверсификации достигается при 15-20 активах в портфеле. Дальнейшее увеличение числа позиций дает минимальный прирост к снижению риска, но увеличивает транзакционные издержки и сложность управления.

График зависимости волатильности портфеля от числа активов имеет характерную форму: резкое падение до 15-20 позиций, затем выход на плато. Асимптота соответствует уровню систематического риска рынка.

Рис. 1: Эффект диверсификации биржевого портфеля и уровня систематического риска

Для конкретных рынков оптимум различается:

• US Large Cap: 20-25 акций;
• Emerging Markets: 30-40 акций (если разные страны);
• Криптовалюты: 10-15 активов (из-за экстремально высоких корреляций).

Цифры актуальны для периодов нормальной волатильности. Важно не забывать, что в кризисы эффективность диверсификации падает.

Наивная диверсификация

Простейший подход — равновесный портфель (1/n для каждого актива). Исследования демонстрируют, что наивная диверсификация часто превосходит сложные методы оптимизации из-за ошибок в оценке параметров.

Преимущества равновесного портфеля:

1. Не требует оценки ожидаемых доходностей (наименее надежный параметр);
2. Устойчив к ошибкам в оценке ковариационной матрицы;
3. Минимальные транзакционные издержки при ребалансировке;
4. Автоматическая ребалансировка: продаем выросшие активы, покупаем упавшие.

Недостатки:

1. Игнорирует различия в профилях риск-доходность;
2. Не учитывает корреляции между активами;
3. Может включать активы с отрицательным ожидаемым доходом.

Для большинства частных инвесторов равновесный портфель из 20-30 активов — оптимальный выбор.

Представленная ниже симуляция с помошью Python демонстрирует эффект диверсификации через закон больших чисел:

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

np.random.seed(42)

# Параметры симуляции
n_simulations = 1000
n_periods = 252  # торговых дней
portfolio_sizes = [1, 5, 10, 20, 50, 100]

# Параметры активов
mu = 0.0005  # дневная доходность 0.05%
sigma = 0.02  # дневная волатильность 2%

results = []

for n_assets in portfolio_sizes:
    portfolio_returns = []
    
    for sim in range(n_simulations):
        # Генерация доходностей активов
        asset_returns = np.random.normal(mu, sigma, (n_periods, n_assets))
        
        # Равновесный портфель
        weights = np.ones(n_assets) / n_assets
        portfolio_return = asset_returns @ weights
        
        # Годовая доходность и волатильность
        annual_return = np.mean(portfolio_return) * 252
        annual_vol = np.std(portfolio_return) * np.sqrt(252)
        
        portfolio_returns.append({
            'n_assets': n_assets,
            'return': annual_return,
            'volatility': annual_vol
        })
    
    results.extend(portfolio_returns)

df = pd.DataFrame(results)

# Средние метрики по размеру портфеля
summary = df.groupby('n_assets').agg({
    'return': 'mean',
    'volatility': ['mean', 'std']
}).round(4)

print(summary)

# Визуализация
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# График волатильности
vol_mean = df.groupby('n_assets')['volatility'].mean()
vol_std = df.groupby('n_assets')['volatility'].std()

ax1.plot(vol_mean.index, vol_mean.values, 'o-', linewidth=2, markersize=8)
ax1.fill_between(vol_mean.index, 
                  vol_mean - vol_std, 
                  vol_mean + vol_std, 
                  alpha=0.3)
ax1.axhline(y=sigma * np.sqrt(252), color='r', linestyle='--', 
            label='Теоретический предел')
ax1.set_xlabel('Число активов в портфеле')
ax1.set_ylabel('Годовая волатильность')
ax1.set_title('Снижение риска через диверсификацию')
ax1.legend()
ax1.grid(True, alpha=0.3)

# Распределение волатильности
for n in [1, 10, 50]:
    subset = df[df['n_assets'] == n]['volatility']
    ax2.hist(subset, bins=30, alpha=0.5, label=f'{n} активов')

ax2.set_xlabel('Годовая волатильность')
ax2.set_ylabel('Частота')
ax2.set_title('Распределение волатильности портфелей')
ax2.legend()
ax2.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('diversification_effect.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.show()

# Относительное снижение риска
risk_reduction = (1 - vol_mean / vol_mean.iloc[0]) * 100
print("\nСнижение риска относительно портфеля из 1 актива:")
print(risk_reduction.round(2))

Рис. 2: Эффект диверсификации портфеля. Изображение демонстрирует снижение годовой волатильности равновзвешенного портфеля по мере увеличения числа включенных в него активов. Гистограммы распределений волатильности показывают уменьшение разброса результатов при росте размера портфеля, что отражает снижение влияния несистематического риска

          return volatility        
            mean       mean     std
n_assets                           
1         0.1264     0.3166  0.0137
5         0.1168     0.1416  0.0064
10        0.1284     0.0998  0.0044
20        0.1270     0.0707  0.0032
50        0.1261     0.0448  0.0020
100       0.1249     0.0316  0.0014

Снижение риска относительно портфеля из 1 актива:
n_assets
1       0.00
5      55.29
10     68.49
20     77.67
50     85.86
100    90.01

Код генерирует 1000 симуляций портфелей разного размера, вычисляет годовые метрики и визуализирует эффект диверсификации. Каждая симуляция создает временной ряд доходностей для заданного числа активов, формирует равновесный портфель и рассчитывает итоговые характеристики.

Результаты показывают, что при таком подходе происходят:

1. Снижение волатильности. Портфель из 20 активов имеет волатильность примерно в 4.5 раза ниже, чем отдельный актив. Это соответствует теоретической оценке √20 ≈ 4.47;
2. Уменьшение разброса результатов. Стандартное отклонение волатильности между симуляциями падает с ростом числа активов. Для портфеля из 1 актива разброс высокий, для 100 активов — минимальный;
3. Закон убывающей отдачи. Переход от 1 к 10 активам снижает риск на 68%, от 10 к 20 — на дополнительные 12%, от 20 к 50 — лишь на 8%.

График распределения волатильности наглядно демонстрирует закон больших чисел: с ростом n распределение сужается и концентрируется вокруг теоретического среднего.

Когда диверсификация эффективна

Диверсификация работает оптимально при низких корреляциях между активами. Портфель из акций различных секторов (технологии, здравоохранение, энергетика, финансы) имеет корреляции 0.2-0.4 в нормальных условиях. Добавление некоррелированных классов активов усиливает эффект:

• акции + облигации;
• акции + товарные фьючерсы;
• акции + альтернативные стратегии.

Временной горизонт также влияет на эффективность. Короткие периоды (дни, недели) содержат больше шума, длинные периоды (месяцы, годы) — больше сигнала. Закон больших чисел действует не только по числу активов, но и по времени.

Корреляционные ловушки

Следует всегда помнить, что статические оценки корреляций бывают весьма обманчивы. Активы могут иметь низкую корреляцию 95% времени, но в критические моменты двигаться синхронно. Кризис 2008 года продемонстрировал это: диверсифицированные портфели показали потери, близкие к рыночным.

Подходы к учету динамических корреляций:

1. Скользящие корреляции. Расчет корреляций на скользящем окне (например, 60–120 дней) позволяет отслеживать изменения режимов взаимосвязи активов во времени;
2. Модели смены режимов (regime switching). Определяются периоды низкой и высокой корреляции, и для каждого режима используются разные веса или разные правила формирования портфеля;
3. Стресс-тестирование. Оценка поведения портфеля в экстремальных условиях, когда корреляции резко возрастают.

Для защиты от correlation breakdown в портфель добавляют активы, которые в стресс-периоды ведут себя противоположно рынку: долгосрочные государственные облигации, золото, инструменты на волатильность (например, индекс VIX).

Альтернативы наивной диверсификации

Когда оценки параметров достаточно надежны, оптимизированные портфели могут превосходить равновзвешенный:

• Портфель минимальной волатильности (Minimum Variance Portfolio). Минимизирует общий риск без учета ожидаемых доходностей; требует только ковариационной матрицы, которая оценивается значительно точнее, чем математическое ожидание доходности.
• Паритет риска (Risk Parity). Выравнивает вклад каждого актива в совокупный портфельный риск; на практике оказывается более устойчивым, чем классическая оптимизация Марковица.
• Максимальная диверсификация (Maximum Diversification). Максимизирует отношение взвешенной волатильности отдельных активов к волатильности портфеля; использует эффект «аномалии низкого риска» (low-risk anomaly).
• Иерархический паритет риска (Hierarchical Risk Parity). Применяет методы кластеризации активов для построения более робастных весов; позволяет снизить чувствительность к ошибкам в оценке корреляций.

Все методы превосходят равновесный портфель при достаточном объеме данных и стабильности параметров. В условиях неопределенности и высоких транзакционных издержек наивная диверсификация остается конкурентной.

Ребалансировка и издержки

Закон больших чисел предполагает фиксированные веса активов. В реальности цены меняются, веса дрейфуют. Ребалансировка восстанавливает целевые пропорции, однако платой за это становится генерация множества издержек:

• Комиссии брокера (для акций 0.01-0.05% за сделку);
• Спреды bid-ask (0.01-0.1% для ликвидных акций);
• Проскальзывание (больше для крупных ордеров);
• Налоги на прирост капитала (зависит от юрисдикции).

Оптимальная частота ребалансировки — компромисс между поддержанием целевого профиля риска и минимизацией издержек. Для портфелей акций типична квартальная или полугодовая ребалансировка. Альтернатива — ребалансировка по порогам: корректировка веса при отклонении от цели более чем на 5-10%.

Заключение

Закон больших чисел объясняет механизм снижения несистематического риска при увеличении числа активов в портфеле. Однако природа современных финансовых рынков такова, что его действие не является безусловным. В периоды рыночных стрессов корреляции между активами имеют свойство резко возрастать, что приводит к синхронному движению цен и снижает эффект диверсификации. Таким образом, полагаться исключительно на простое расширение портфеля недостаточно.

Для эффективного управления риском необходимо учитывать динамическую структуру корреляций и различать систематический и несистематический компоненты риска. Практически это означает применение методов, адаптирующих состав и веса активов к рыночным режимам: моделей смены состояний, паритета риска, иерархических и факторных подходов. Такие стратегии позволяют не только снижать уровень волатильности портфеля, но и поддерживать устойчивость к «корреляционным обвалам» в кризисных ситуациях.

Иными словами, диверсификация остается фундаментальным инструментом управления риском, однако ее реальная эффективность достигается лишь при учете изменчивой природы рынков и грамотном выборе методов оптимизации.