> Machine Learning Guru

Большинство финансовых моделей с той или иной степенью точности надежно описывают регулярную динамику данных. Однако в моменты кризиса они часто дают сбой, недооценивая риск редких и разрушительных событий. Именно здесь на помощь приходит экстремальная теория значений (Extreme Value Theory, EVT) — мощный математический инструмент для анализа самых критических отклонений.

В отличие от классических методов, которые пытаются описать распределение целиком, EVT сосредоточена исключительно на экстремумах — самых больших или самых малых значениях. Такой подход особенно важен для риск-менеджмента и финансов, где игнорирование хвостов распределений может стоить миллионов: например, для оценки вероятности экономических кризисов, резких падений фондовых рынков или неожиданных убытков крупных компаний.

EVT позволяет не просто описывать «среднее поведение» данных, а точно моделировать редкие, но разрушительные сценарии, делая прогнозы более надежными и практическими для принятия решений в условиях неопределенности.

Основы экстремальной теории значений

Теорема Фишера-Типпета-Гнеденко и GEV

Теорема Фишера-Типпета-Гнеденко утверждает: при определенных условиях распределение максимумов из независимых одинаково распределенных случайных величин сходится к одному из трех типов предельных распределений. Эти три типа объединены в обобщенное экстремальное распределение (Generalized Extreme Value, GEV):

G(z) = exp{−[1 + ξ((z − μ)/σ)]^(−1/ξ)}

где:

• μ — параметр положения (location);
• σ > 0 — параметр масштаба (scale);
• ξ — параметр формы (shape);
• z — значение случайной величины.

Параметр формы ξ определяет тип распределения и толщину хвоста:

• При ξ > 0 получаем распределение Фреше с тяжелыми хвостами — это характерно для финансовых рынков, страховых выплат, природных катастроф;
• При ξ = 0 имеем распределение Гумбеля с экспоненциально убывающими хвостами;
• При ξ < 0 — распределение Вейбулла с ограниченным хвостом, применимое для процессов с естественным верхним пределом.

Распределение GEV применяют для моделирования максимальных просадок портфелей. Типичный кейс: хедж-фонд анализирует историю дневных доходностей за 10 лет, разбивает данные на месячные блоки и извлекает минимальную дневную доходность в каждом блоке. Подгонка GEV к этим месячным минимумам позволяет оценить вероятность катастрофических просадок и рассчитать требуемый резерв капитала. Регуляторы используют аналогичный подход при оценке системных рисков банковских портфелей.

Теорема Пикандса-Балкема-де Хаана и GPD

Теорема Пикандса-Балкема-де Хаана фокусируется не на максимумах, а на превышениях высокого порога. Она утверждает: распределение превышений над достаточно высоким порогом сходится к обобщенному распределению Парето (Generalized Pareto Distribution, GPD):

H(y) = 1 − [1 + ξ(y/σ)]^(−1/ξ)

где:

• y = x − u — превышение над порогом u;
• σ > 0 — параметр масштаба;
• ξ — параметр формы (тот же смысл, что в GEV).

GPD описывает условное распределение так: какова вероятность того, что убыток превысит определенный уровень, если мы уже знаем, что он превысил порог u?

Generalized Pareto Distribution часто используется для оценки рисков деривативов и структурированных продуктов. Кроме того, его используют и в опционной торговле. Например, маркет-мейкер продает путы вне денег (out-of-the-money) на индекс. Основной риск — гэп вниз, когда убыток может многократно превысить собранную премию. GPD позволяет оценить распределение убытков в хвосте и определить требуемый капитал для покрытия хвостового риска.

В отличие от исторического моделирования, которое ограничено наблюдавшимися событиями, GPD экстраполирует сценарии за пределы исторических данных, оценивая вероятность событий хуже самого плохого в выборке.

Страховые компании используют GPD для моделирования выплат в случае природных катастроф. Порог устанавливается на уровне крупных убытков (например, страховые случаи > $10M), и GPD моделирует распределение сверхкрупных выплат. Это определяет цену перестрахования и размер резервов.

Методология оценки хвостовых рисков

Block Maxima vs Peaks Over Threshold

В EVT выделяют 2 основных подхода, они различаются способом извлечения экстремумов из данных:

• Block Maxima (BM) разбивает временной ряд на непересекающиеся блоки равной длины и извлекает максимум (или минимум) в каждом блоке. К полученной выборке экстремумов применяется распределение GEV. При этом важно правильно подобрать размер блока: слишком короткие блоки нарушают предпосылки теоремы, слишком длинные дают малую выборку экстремумов. Для дневных финансовых данных типичный выбор — месячные или квартальные блоки.
• Peaks Over Threshold (POT) выбирает все наблюдения, превышающие заданный порог u, независимо от их положения во времени. К превышениям применяется GPD. Этот метод эффективнее использует информацию: вместо одного экстремума на блок получаем все значимые превышения.

Выбор метода зависит от задачи и данных. BM предпочтительнее, когда важна временная структура экстремумов или когда данных много и можно позволить «выбросить» информацию ради простоты. Страховые компании часто используют BM для моделирования годовых максимальных убытков — это естественная временная шкала для бизнес-планирования.

POT эффективнее при ограниченных данных и когда нужна максимальная точность хвостовых оценок. Торговые стратегии с коротким track record (2-3 года дневных данных) почти всегда лучше работают с POT: метод извлекает 50-100 превышений вместо 8-12 блочных максимумов, что дает более надежные оценки параметров. Трейдинг-дески, торгующие волатильностью, используют POT для оценки рисков gamma scalping: порог устанавливается на уровне 2-3 стандартных отклонений дневного P&L, и GPD моделирует хвост убытков.

Выбор порога в POT

Выбор порога u — это, пожалуй, самая сложная проблема POT. Не существует единой методики на этот счет. Между тем, низкий порог включает слишком много наблюдений, которые не относятся к хвосту — это вносит смещение. Высокий порог оставляет мало превышений — оценки становятся неустойчивыми из-за высокой дисперсии.

Для подбора оптимальных порогов в POT используют графики:

• График средних превышений (Mean Excess plot) строится по формуле e(u) = E[X − u | X > u] в зависимости от порога u. Для распределения GPD этот график должен быть примерно линейным выше определенного уровня. Точка, где график выравнивается, указывает на подходящий порог. Метод достаточно интуитивен, однако требует визуальной оценки, и есть доля субъективизма насчет того, что считать «приближенно линейным».
• График Хилла (Hill plot) строится на основе оценки параметра формы ξ для разных порогов. На нем видно, как меняется оценка ξ в зависимости от числа превышений. Оптимальный порог соответствует области, где значения 𝜉 стабилизируются. Этот подход более формален, но все равно требует экспертного суждения для определения того, что считать «стабильным».

Выбор порога оказывает существенное влияние на оценку капитала. Если порог завышен и превышений мало, оценка 99%-го VaR может иметь чрезвычайно широкий доверительный интервал — иногда ±30–50% от самой точки оценки. В таких условиях риск-метрика теряет практическую ценность для принятия решений. При слишком низком пороге, напротив, хвостовой риск систематически недооценивается на 10–20%, что может привести к недокапитализации и повышенной уязвимости стратегии к экстремальным событиям.

На практике применяют комбинированный подход. Обычно строят график средних превышений и график Хилла, оценивают несколько кандидатов на порог с помощью тестов качества аппроксимации (Anderson-Darling, Kolmogorov-Smirnov) и выбирают тот порог, который дает стабильные оценки VaR при небольших изменениях. Консервативная стратегия предполагает использование диапазона порогов и взятие наихудших оценок риска, что обеспечивает дополнительную защиту от неожиданно больших потерь.

Оценка параметров

После того как выбран порог для метода превышений (POT), следующим важным шагом становится оценка параметров распределения экстремумов. От корректности этих оценок напрямую зависит точность прогнозов редких событий и риск-метрик, таких как VaR. Даже небольшие ошибки в параметрах распределения могут приводить к значительным колебаниям оценок капитала, поэтому выбор метода оценки и проверка устойчивости крайне важны.

Метод максимального правдоподобия (ML)

Метод максимального правдоподобия (ML) является стандартным инструментом для оценки параметров GEV и GPD. Он находит такие значения параметров, при которых вероятность наблюдаемых данных максимальна.

Метод асимптотически эффективен и позволяет строить доверительные интервалы через информационную матрицу Фишера.

Метод взвешенных моментов (PWM)

Метод взвешенных моментов (PWM) представляет собой альтернативный подход, основанный на взвешивании моментов распределения. Он более робастен к выбросам и смещению в малых выборках.

Для GPD с тяжелыми хвостами (𝜉 > 0.5) метод максимального правдоподобия может давать нестабильные оценки, особенно при небольшом числе превышений (20–50). В таких случаях PWM показывает более надежные результаты.

Для риск-менеджмента важно еще проверить робастность оценок. Неустойчивые оценки параметра формы ξ напрямую транслируются в неустойчивые оценки VaR и требуемого капитала. Портфель с оценкой ξ = 0.3 ± 0.2 (95% доверительный интервал) дает разброс 99.9% VaR от $5M до $15M — с такой неопределенностью планировать инвестиции невозможно.

На практике часто используют следующий подход:

1. Сначала получают первичную оценку с помощью PWM;
2. Затем проверяют устойчивость через бустраппинг. Для этого генерируют 1000 бутсрап-выборок из превышений, для каждой оценивают параметры и рассчитывают VaR;
3. Если 95% оценок VaR находятся в пределах ±20% от исходной оценки, модель считается достаточно устойчивой. Если разброс превышает этот диапазон, рекомендуется либо увеличить выборку (снизить порог), либо закладывать более консервативные лимиты риска.

VaR и Expected Shortfall через призму EVT

Ограничения классического VaR

Value at Risk (VaR) — наиболее распространенная мера риска в индустрии. VaR на уровне α отвечает на вопрос: какой максимальный убыток не будет превышен с вероятностью α? Например, дневной 99% VaR = $1M означает, что в 99% дней убыток не превысит $1M.

Проблема VaR — отсутствие субаддитивности. Это означает, что VaR портфеля может превышать сумму VaR отдельных позиций:

VaR(X + Y) > VaR(X) + VaR(Y).

Это нарушает базовый принцип диверсификации и создает стимулы к фрагментации портфелей для обхода лимитов риска.

Математически, VaR не является когерентной мерой риска. VaR также не дает информации о величине убытка в случае превышения порога. Две стратегии могут иметь одинаковый 99% VaR = $1M, но у одной убытки в худшем 1% случаев составят $1.1-1.5M, а у другой — $5-10M. VaR этого не различает.

Регуляторы осознали проблему. Basel III с 2016 года требует от банков расчет Expected Shortfall вместо VaR для рыночных рисков. Это фундаментальный сдвиг в регулировании, отражающий уроки кризиса 2008 года.

Оценка VaR методами EVT

Экстремальная теория значений имеет свои формулы для VaR через параметры распределений GEV и GPD. Для GPD оценка VaR на уровне α при заданном пороге u рассчитывается так:

VaR_α = u + (σ/ξ)[(n/N_u × (1−α))^(−ξ) − 1]

где:

• n — общее количество наблюдений;
• N_u — количество превышений порога u;
• σ, ξ — параметры GPD.

Формула позволяет экстраполировать сценарии за пределы наблюдаемых данных. Например, если исторически наихудший дневной убыток составил $2 млн, EVT-оценка 99.9% может дать VaR $5 млн. То есть, отразить вероятность событий, которые еще не происходили, но математически ожидаемы на основании хвоста распределения.

Сравнение с историческим VaR показывает систематическое расхождение. Исторический 99%-й VaR берет 1-й процентиль выборки — при 1000 наблюдений это 10-й худший результат. EVT использует всю информацию о хвосте распределений (например, 50–100 превышений порога) и дальше ее экстраполирует, что особенно важно для рынков с «толстыми хвостами». В таких случаях исторический VaR может недооценивать риск на 20–40% относительно EVT-оценки.

Параметрический VaR, рассчитанный на основе нормального распределения, обычно дает оценки еще дальше от реальности. Для стратегий с отрицательной асимметрией, таких как продажа опционов или carry trades, нормальный 99%-й VaR может недооценивать риск в 2–3 раза. EVT же корректно учитывает толщину хвоста через параметр ξ, обеспечивая более надежную оценку экстремальных убытков.

Expected Shortfall и его преимущества

Ожидаемый убыток (Expected Shortfall, ES), также называемый Conditional VaR или Average VaR, измеряет средний убыток при условии превышения VaR. Математически он выражается следующими образом:

ES_α = E[X | X > VaR_α]

Интерпретация: Если 99% VaR = $1M, то 99% ES — это средний убыток в худших 1% случаев.

Преимущество ES в том, что это когерентная мера риска. Это означает что:

1. Метрика ведет себя логично при объединении нескольких активов в портфель — суммарный риск не окажется меньше суммы рисков отдельных активов;
2. Увеличение позиций пропорционально увеличивает общий риск;
3. Если один из активов становится более рискованным, общий риск растет.

Благодаря этим свойствам ES удобно использовать для установки лимитов риска на уровне всей компании и для сравнения разных портфелей по потенциальным экстремальным потерям.

Для GPD формула ES выглядит следующим образом:

ES_α = VaR_α/(1−ξ) + (σ − ξu)/(1−ξ)

Expected Shortfall (ES) учитывает всю информацию о хвосте распределения за порогом VaR. Это значит, что две стратегии с одинаковым VaR, но разными хвостами, будут иметь разные значения ES. Такой подход особенно важен при определении размера позиций и управлении капиталом, так как учитывает вероятность экстремальных потерь, которые обычный VaR игнорирует.

Показатель ES часто используют для более точного сайзинга ордеров. Вместо того чтобы задавать фиксированный процент капитала на позицию, размер позиции рассчитывается так, чтобы ES не превышал установленную долю капитала. Например, если ES одной позиции в два раза выше, чем у другой при одинаковом VaR, то размер первой позиции автоматически уменьшается в два раза. Таким образом стратегия сама учитывает различия в хвостах распределений и потенциальную экстремальную волатильность.

Еще одно важное применение ES — управление капиталом на макро-уровне. Общий резервный капитал формируется как сумма ES всех стратегий плюс дополнительный буфер. Поскольку ES является субаддитивной метрикой, этот подход корректно учитывает эффект диверсификации и не создает стимулов искусственно дробить портфель для уменьшения риска.

Ограничения EVT и практические проблемы

Экстремальная теория значений (EVT) мощна для оценки редких событий, однако при ее применении важно учитывать ряд ограничений и практических трудностей:

• Предположение о стационарности:
  EVT предполагает, что параметры распределения хвостов остаются постоянными во времени. На практике рынки нестационарны: волатильность меняется, корреляции активов увеличиваются в кризисы, а рыночные режимы сменяют друг друга.
  • Решение: использовать скользящие окна (rolling windows) длиной 500–1000 наблюдений для адаптации оценок к текущему режиму;
  • Альтернатива — моделирование смены режимов через Markov-switching модели, где для каждого режима задаются свои параметры GPD. Такой подход сложнее, но точнее в периоды структурных изменений.
• Малые выборки в хвостах:
  По определению, экстремальные события редки. Например, при пороге 95-го процентиля из 1000 наблюдений мы получаем лишь 50 превышений. Для оценки 99.9%-го VaR этого количества слишком мало, и доверительные интервалы становятся широкими.
  • Частичное решение: объединение данных (pooling) из нескольких схожих активов или стратегий. Например, 10 коррелированных акций с похожими хвостовыми свойствами можно объединить в одну выборку. Важно убедиться, что хвостовые свойства действительно однородны.
• Временная зависимость хвостов:
  EVT предполагает независимость наблюдений, но экстремальные события часто кластеризуются: один большой убыток может сопровождаться еще несколькими. Это связано с GARCH-эффектами и «эффектами обратной связи» на рынках. Игнорирование зависимости приводит к недооценке риска последовательных потерь.
  • Решение: декластеризация данных методом runs declustering. Если несколько последовательных наблюдений превышают порог, в выборку включают только максимум из кластера. Это восстанавливает приближенную независимость ценой потери части информации.
• Случаи, когда EVT неприменима:
  • Рынки с манипулированием;
  • Активы с крайне низкой ликвидностью;
  • Структурные изменения, например смена регулирования или делистинг.

  В таких ситуациях исторические данные не отражают будущие риски, и статистические модели, включая EVT, становятся ненадежными. Здесь необходимо использовать оценку рисков по сценариям (scenario analysis) и экспертное суждение, а не полагаться исключительно на математические модели.

Заключение

Экстремальная теория значений переводит управление хвостовыми рисками распределений из сферы эвристик и эмпирических правил в область строгой количественной оценки. Вместо предположений о нормальности, которые систематически недооценивают редкие катастрофические события, EVT предоставляет инструменты для корректной оценки вероятности и масштаба таких событий.

Модели GEV и GPD позволяют точно учитывать тяжелые хвосты реальных распределений, метрика ES превосходит VaR как когерентная мера риска, а подходы POT и Block Maxima дают практические способы извлечения информации из ограниченных данных о редких событиях.

Интеграция EVT в профессиональный риск-менеджмент обогащает его инструментарий генерацией сценариев на основе количественных данных о редких, но потенциально разрушительных событиях. Она помогает корректно устанавливать лимиты риска, определять размер капитала для покрытия экстремальных потерь и выстраивать стратегии хеджирования, учитывающие такие сценарии.