В мире количественных финансов и анализа данных понимание различных типов доходности является фундаментальным навыком для любого, кто стремится создавать эффективные торговые стратегии или оценивать инвестиционные возможности.
В этой статье я подробно рассмотрю четыре ключевых типа доходности: логарифмическую, геометрическую, нормализованную и стохастическую. Моя цель — не просто перечислить определения, а представить глубокий анализ, который поможет вам применить эти концепции на практике и избежать распространенных ошибок, с которыми я сталкивался на протяжении своей карьеры.
Логарифмическая доходность
Логарифмическая доходность (log return или continuous return) — один из наиболее полезных инструментов в арсенале количественного аналитика. Формально она определяется как натуральный логарифм отношения цен в последовательные моменты времени:
Где:
- r_t — логарифмическая доходность за период t;
- P_t — цена актива в момент времени t;
- P_{t-1} — цена актива в предыдущий момент времени t-1.
Преимущества логарифмической доходности
Логарифмическая доходность обладает рядом существенных преимуществ, которые делают ее незаменимой при разработке количественных стратегий:
- Аддитивность. Возможно, самое важное свойство логдоходностей — их аддитивность во времени. Если у нас есть логдоходности за несколько периодов, мы можем просто сложить их, чтобы получить логдоходность за весь интервал. Это чрезвычайно удобно при работе с временными рядами различной частоты;
- Нормализация распределения. Логарифмирование имеет тенденцию приближать распределение доходностей к нормальному, что упрощает применение множества статистических методов и моделей. Однако, как я обнаружил на практике, это приближение часто переоценивается — «толстые хвосты» распределения сохраняются даже после логарифмирования;
- Симметричность изменений. Для логдоходностей рост на X% и последующее падение на те же X% приводят к симметричным результатам, что не так для простых процентных изменений. Это свойство крайне важно при моделировании волатильности;
- Инвариантность к масштабу. Логдоходности не зависят от валюты или единиц измерения цены актива, что упрощает сравнение разных инструментов.
Когда логдоходности могут вводить в заблуждение
Есть моменты когда логдоходности не применимы:
- Искажение при экстремальных изменениях. При больших ценовых движениях (более 20-30%) разница между простой и логарифмической доходностью становится существенной, что может искажать результаты бэктестинга;
- Неприменимость при отрицательных ценах. Этот аспект редко упоминается в учебниках, но становится актуальным при работе с фьючерсами на нефть или спредами, где возможны отрицательные значения.
Геометрическая доходность
Геометрическая доходность (geometric return) предоставляет более точную картину фактической производительности инвестиций с течением времени, учитывая эффект реинвестирования и капитализации. Формула геометрической доходности следующая:
Где:
- r_i — доходность за период i;
- n — общее количество периодов.
Геометрическую доходность считают намного реже, чем обычную арифметическую и логдоходность. А на самом деле зря. В своей практике я неоднократно сталкивался с ситуациями, когда игнорирование геометрической доходности приводило к серьезной переоценке эффективности стратегий. Вот несколько ключевых наблюдений:
- Реалистичность оценки. Геометрическая доходность всегда меньше или равна арифметической. Разница может казаться незначительной на коротких горизонтах, но она критически важна при долгосрочном инвестировании. Я видел стратегии, которые выглядели привлекательно по арифметической доходности, но показывали отрицательный результат при геометрической оценке;
- Учет волатильности. Геометрическая доходность естественным образом «наказывает» за волатильность. Две стратегии с одинаковой арифметической доходностью будут иметь разную геометрическую доходность в зависимости от волатильности — более волатильная стратегия покажет худший результат;
- Связь с логдоходностью. Существует элегантная связь между геометрической и логарифмической доходностью: math.exp((1/n) * sum(math.log(1 + ri) for ri in r)) — 1. Это соотношение я регулярно использую при разработке и оценке торговых стратегий.
Практическое применение геометрической доходности
В своей работе я обнаружил несколько сценариев, где использование геометрической доходности дает лучшие результаты:
- Оценка стратегий с леверджем. При использовании кредитного плеча эффект накопительного роста многократно усиливается, делая геометрическую доходность единственно верным показателем долгосрочной эффективности;
- Сравнение стратегий с разной частотой сделок. Высокочастотные стратегии часто показывают впечатляющую арифметическую доходность, но могут проигрывать более консервативным подходам при оценке через геометрическую доходность из-за повышенной волатильности;
- Расчет оптимального размера позиции. Формула Келли, которую я активно использую для определения оптимального размера позиций, напрямую связана с максимизацией геометрической доходности.
Нормализованная доходность
Нормализованная доходность (normalized return) представляет собой подход к приведению доходностей различных активов или стратегий к общей шкале для корректного сравнения. В отличие от других типов доходности, нормализация не имеет единой формулы и может реализовываться различными способами.
Есть несколько подходов к нормализации, которые доказали свою эффективность:
- Z-нормализация. Классический подход, который я часто использую: r_norm = (r — np.mean(r)) / np.std(r), где np.mean(r) — среднее значение доходности, а np.std(r) — стандартное отклонение. Этот метод позволяет сравнивать активы с разной волатильностью, но имеет недостаток: он чувствителен к выбросам и нестационарности временных рядов;
- Нормализация по целевой волатильности. Более продвинутый метод, который предпочитают использовать в хедж-фонд стратегиях: r_norm = r * (sigma_target / np.std(r)), где sigma_target — целевой уровень волатильности (например, 10% годовых), а np.std(r) — реализованная волатильность актива. Этот подход позволяет непосредственно сравнивать доходность разных активов с поправками на риск;
- Минимаксная нормализация. Полезна при сравнении активов с существенно разными диапазонами цен: r_norm = (r — np.min(r)) / (np.max(r) — np.min(r)). Этот метод масштабирует все доходности в диапазон [0, 1], что может быть полезно для некоторых алгоритмов машинного обучения, но часто искажает статистические свойства временных рядов.
Есть несколько сценариев, где нормализация доходности является не просто полезным, а необходимым инструментом:
- Построение портфеля из разнородных активов. При работе с портфелем, включающим акции, облигации, товары и криптовалюты, нормализация позволяет корректно сравнивать и комбинировать их, учитывая различия в волатильности;
- Разработка мультифакторных моделей. При создании факторных моделей нормализация входных сигналов крайне полезна для предотвращения доминирования более волатильных факторов;
- Оценка производительности трейдеров или стратегий. Нормализация по риску (например, деление доходности на волатильность для получения коэффициента Шарпа) позволяет справедливо сравнивать результаты трейдеров, работающих с разными инструментами или использующих разный уровень риска;
- Предобработка данных для моделей машинного обучения. Большинство алгоритмов ML работают лучше с нормализованными входными данными, особенно методы, основанные на градиентном спуске.
Стохастическая доходность
Стохастическая доходность (stochastic return) — это концепция, рассматривающая доходность не как детерминированную величину, а как случайную переменную с определенным распределением вероятностей. Этот подход лежит в основе многих современных методов риск-менеджмента и ценообразования деривативов.
В процессе создания собственных торговых систем я часто обращаюсь к следующим моделям стохастической доходности:
- Геометрическое броуновское движение (GBM). Классическая модель, лежащая в основе формулы Блэка-Шоулза: dS_t = mu * S_t * dt + sigma * S_t * dW_t, где S_t — цена актива, mu — ожидаемая доходность, sigma — волатильность, а dW_t — винеровский процесс. Несмотря на популярность, эта модель имеет серьезные недостатки: она не учитывает кластеризацию волатильности, толстые хвосты распределения и автокорреляцию доходностей;
- Модели стохастической волатильности. Более реалистичный подход моделирования, рассчитывается по формуле: dS_t = mu * S_t * dt + sigma_t * S_t * dW_t_S и d_sigma_t = kappa * (theta — sigma_t) * dt + xi * sigma_t * dW_t_sigma. Здесь волатильность sigma_t сама следует стохастическому процессу, что позволяет моделировать ее кластеризацию и регрессию к среднему;
- Jump-diffusion модели. Расширение предыдущих подходов для учета резких ценовых движений: dS_t = mu * S_t * dt + sigma * S_t * dW_t + J_t * dN_t Где J_t — размер скачка, а dN_t — пуассоновский процесс, моделирующий вероятность скачка. Эта модель хорошо работает для активов, подверженных внезапным новостным шокам.
Практическое применение стохастических моделей
Помимо теоретического интереса, стохастические модели доходности имеют множество практических применений:
- Монте-Карло симуляции для оценки рисков. Я регулярно использую стохастические модели для генерации тысяч возможных сценариев развития рынка, что позволяет получить более надежные оценки VaR (Value at Risk) и Expected Shortfall, чем традиционные методы;
- Ценообразование сложных деривативов. Для экзотических опционов и структурированных продуктов аналитические формулы часто недоступны, и стохастическое моделирование становится единственным надежным методом определения справедливой цены;
- Оптимизация портфеля с учетом высших моментов распределения. В отличие от классической теории Марковица, современные методы оптимизации учитывают не только ожидаемую доходность и волатильность, но и скошенность (skewness) и куртозис (kurtosis) распределения доходностей;
- Разработка и тестирование алгоритмических стратегий. Стохастические модели позволяют генерировать синтетические данные с заданными статистическими свойствами для проверки робастности торговых алгоритмов в различных рыночных условиях.
Если ваша задача попадает под одну из четыерех, описанных выше, то стоит остановить свой выбор на стохастической доходности. При этом важно учитывать ограничения стохастических моделей:
- Проблема калибровки. Многие модели требуют оценки ненаблюдаемых параметров, что создает риск переобучения и неустойчивости результатов. Я рекомендую использовать байесовские методы и регуляризацию для снижения этого риска;
- Нестационарность финансовых рядов. Статистические свойства рыночных данных меняются со временем, что требует постоянной рекалибровки моделей или использования адаптивных подходов;
- Игнорирование рыночных микроструктур. Большинство стохастических моделей не учитывают такие факторы, как ликвидность, спред bid-ask и влияение сделок на рынок, что ограничивает их применимость для высокочастотной торговли.
Взаимосвязи между различными типами доходности
Понимание взаимосвязей между разными типами доходности позволяет более гибко использовать их в зависимости от конкретной задачи. Вот несколько ключевых соотношений, которые я часто использую в своей работе:
От простой к логарифмической доходности и обратно
Связь между простой процентной доходностью R и логдоходностью r выражается следующими формулами:
Для малых значений R (менее 10%) можно использовать приближение r approx R, но при более значительных изменениях разница становится существенной.
Связь между арифметической и геометрической доходностью
Приближенная формула, связывающая арифметическую доходность R_A и геометрическую доходность R_G:
Где sigma^2 — дисперсия доходностей. Эта формула наглядно демонстрирует, почему высокая волатильность снижает геометрическую доходность даже при неизменной арифметической доходности.
От дискретной к непрерывной капитализации доходности
Формула для перевода годовой доходности с дискретной капитализацией R в непрерывно капитализируемую доходность r_c:
Где n — количество периодов капитализации в год.
Выбор подходящего типа доходности для различных задач
Я рекомендую следующие подходы к выбору типа доходности в зависимости от конкретной задачи:
- Для статистического анализа и моделирования предпочтительны логарифмические доходности из-за их лучших статистических свойств и аддитивности;
- Для оценки долгосрочной эффективности инвестиций следует использовать геометрическую доходность, особенно при высокой волатильности или использовании кредитного плеча;
- Для сравнения различных активов или стратегий необходима нормализация доходностей, чтобы учесть различия в волатильности и масштабе;
- Для риск-менеджмента и ценообразования стохастические модели доходности предоставляют наиболее полную картину возможных сценариев;
- Для отчетности и коммуникации с клиентами обычно используется простая процентная доходность, так как она наиболее интуитивно понятна.
Заключение
Глубокое понимание различных типов доходности и их взаимосвязей — необходимый навык для количественного аналитика. Каждый тип имеет свои преимущества и ограничения, и выбор конкретного подхода должен определяться спецификой решаемой задачи.
Независимо от выбранного подхода, крайне важно понимать математические свойства используемых мер доходности и их влияние на результаты анализа. Неправильный выбор типа доходности может привести к серьезным ошибкам в оценке эффективности стратегий и принятии инвестиционных решений.