> Machine Learning Guru

Финансовые рынки обладают сложной многомасштабной структурой, которую порой невозможно описать с помощью стандартных методов. Фрактальный анализ предлагает альтернативный подход, основанный на самоподобии и долговременной памяти временных рядов.

Ключевое отличие фрактального подхода от стандартных методов: вместо анализа моментов распределения изучается структура автокорреляций на разных временных масштабах. Это позволяет выявить персистентность (тренды) или антиперсистентность (реверсии) в ценовых движениях, что напрямую влияет на выбор торговых стратегий.

Показатель Херста: оценка персистентности рынка

Показатель Херста (H) количественно описывает характер автокорреляций в временном ряде. Значение H определяет скорость роста размаха накопленных отклонений относительно среднего квадратичного отклонения при увеличении временного окна.

Для временного ряда X₁, X₂, …, Xₙ показатель Херста связан с перенормированным размахом R/S через степенной закон:

E[R/S] = (n/2)^H

где:

• R — размах накопленных отклонений от среднего;
• S — стандартное отклонение исходного ряда;
• n — размер временного окна;
• E[·] — математическое ожидание.

Интерпретация значений показателя Херста определяет тип памяти в системе:

• H = 0.5: случайное блуждание, отсутствие памяти. Приращения независимы, прошлые движения не влияют на будущие. Дисперсия растет линейно со временем.
• H > 0.5: персистентность (трендовость). Положительные приращения с большей вероятностью сменяются положительными, отрицательные — отрицательными. Система демонстрирует долговременную память. При H → 1 ряд приближается к детерминированному тренду.
• H < 0.5: антиперсистентность (mean reversion). Положительные приращения чаще сменяются отрицательными и наоборот. Ряд стремится вернуться к среднему значению. При H → 0 наблюдаются максимально выраженные реверсии.

Связь с фрактальной размерностью описывается соотношением D = 2 — H, где D — фрактальная размерность траектории. Для случайного блуждания D = 1.5, для персистентных рядов D < 1.5, для антиперсистентных D > 1.5.

R/S анализ: методология расчета

R/S анализ (rescaled range analysis) — классический метод оценки показателя Херста. Алгоритм расчета для временного ряда длины N следующий:

1) Вычисление накопленных отклонений от среднего:

Y(t) = Σᵢ₌₁ᵗ (Xᵢ — X̄)

где:

• X̄ — среднее значение ряда X₁, …, Xₙ
• t = 1, 2, …, n

2) Определение размаха R:

R(n) = max(Y(t)) — min(Y(t)), t ∈ [1, n]

где размах измеряет максимальное отклонение накопленной суммы от нуля.

3) Расчет стандартного отклонения S:

S(n) = √(1/n · Σᵢ₌₁ⁿ (Xᵢ — X̄)²)

4) Вычисление перенормированного размаха:

(R/S)(n) = R(n) / S(n)

5) Повторение процедуры для различных размеров окон n. Используются окна n = [16, 32, 64, 128, 256, …] или другие степени 2 для равномерного покрытия логарифмической шкалы.

6) Оценка показателя Херста через линейную регрессию в логарифмических координатах:

log(R/S) = H · log(n) + c

где коэффициент наклона H является искомым показателем Херста, а c — константа.

Модификация Anis-Lloyd учитывает краткосрочные корреляции, вычитая из R/S вклад автокорреляционной функции первого порядка. Это снижает смещение оценки для рядов с короткой памятью.

Модификация Lo более радикальна: вместо стандартного отклонения S используется робастная оценка волатильности, учитывающая автокорреляции до лага q:

S²ᵩ(n) = S²(n) + 2·Σⱼ₌₁ᵩ wⱼ·γⱼ

где:

• γⱼ — автоковариация при лаге j
• wⱼ = 1 — j/(q+1) — веса
• q — максимальный лаг (обычно q = √n)

Модификация Lo весьма часто применяется для анализа высокочастотных данных, где микроструктурные эффекты создают ложную антиперсистентность.

Применение в трейдинге

Выбор торговой стратегии напрямую зависит от значения показателя Херста:

Для персистентных рынков (H > 0.5):

Эффективны трендследящие стратегии. Momentum-подходы генерируют положительную доходность, так как текущее движение с высокой вероятностью продолжится. Оптимальны длинные периоды удержания позиций и широкие стоп-лоссы для избежания преждевременных выходов при краткосрочных коррекциях.

Для антиперсистентных рынков (H < 0.5):

Работают стратегии возврата к средним (mean reversion). Статистический арбитраж, парный трейдинг и контртрендовые подходы используют свойство цен возвращаться к среднему. Здесь важны быстрое исполнение и короткие периоды удержания для захвата реверсий до следующего отклонения.

Для случайных рынков (H ≈ 0.5):

Систематические стратегии без дополнительной информации неэффективны. Требуется переход к альтернативным источникам данных, микроструктурный анализ, взаимосвязи между активами (cross-asset relationships).

Ограничения метода:

Показатель Херста нестационарен во времени. Рынки меняют режимы: периоды персистентности сменяются периодами реверсий. Расчет H на историческом окне не гарантирует сохранение свойств в будущем. Требуется скользящее окно для отслеживания изменений режима, что создает временные лаги в детекции переключений.

R/S анализ чувствителен к выбросам и нестационарности среднего. Структурные сдвиги в уровне цен искажают оценку H в сторону завышения персистентности. Предварительная детрендизация или работа с доходностями вместо цен снижает эту проблему.

Минимальный размер выборки для надежной оценки составляет 500-1000 наблюдений. При меньших объемах данных стандартная ошибка оценки H достигает 0.1-0.15, что делает различие между H = 0.45 и H = 0.55 статистически незначимым.

Фрактальная размерность временных рядов

Фрактальная размерность количественно описывает сложность траектории временного ряда в фазовом пространстве. В отличие от топологической размерности (которая для любого графика функции равна 1), фрактальная размерность принимает нецелые значения и отражает степень заполнения пространства.

Метод Box-counting

Метод Box-counting определяет размерность через скорость изменения минимального количества покрывающих элементов при изменении масштаба. Формула расчета Box-counting следующая:

D = lim(ε→0) log N(ε) / log(1/ε)

где:

• N(ε) — минимальное количество боксов (ячеек) размера ε, необходимое для покрытия графика;
• ε — размер ячейки (масштаб измерения);
• D — фрактальная размерность.

Алгоритм расчета для временного ряда (t, X(t)):

1. Нормализация ряда к единичному квадрату [0,1] × [0,1] для устранения влияния абсолютных значений;
2. Разбиение плоскости на сетку с ячейками размера ε. Используются значения ε = 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …, покрывающие диапазон масштабов;
3. Подсчет количества ячеек N(ε), через которые проходит график функции;
4. Построение log-log графика зависимости log N(ε) от log(1/ε);
5. Фрактальная размерность D определяется как угловой коэффициент линейной регрессии на этом графике.

Для гладких функций D = 1, что соответствует топологической размерности линии. Для фрактальных кривых 1 < D < 2, причем большие значения D указывают на более изрезанную, сложную траекторию.

Связь фрактальной размерности с показателем Херста описывается соотношением D = 2 — H. Это позволяет интерпретировать D в терминах персистентности:

• D = 1.5 (H = 0.5): случайное блуждание;
• D < 1.5 (H > 0.5): гладкие персистентные траектории;
• D > 1.5 (H < 0.5): изломанные антиперсистентные траектории.

Для финансовых временных рядов типичные значения D находятся в диапазоне 1.4-1.6, что указывает на близость к случайному блужданию с небольшими отклонениями в сторону персистентности или антиперсистентности.

Альтернативные методы оценки

Метод Higuchi fractal dimension использует прямое измерение длины кривой на разных временных масштабах. Метод более устойчив к нестационарности и не требует фазового пространства.

Для временного ряда X(1), X(2), …, X(N) строятся k подпоследовательностей:

X^k_m = X(m), X(m+k), X(m+2k), …

где:

• m = 1, 2, …, k — начальное смещение;
• k — временной интервал между точками.

Для каждой подпоследовательности рассчитывается нормализованная длина кривой:

L_m(k) = (1/k) · [(N-1)/([(N-m)/k]·k)] · Σᵢ₌₁^[(N-m)/k] |X(m+i·k) — X(m+(i-1)·k)|

Средняя длина по всем подпоследовательностям:

L(k) = (1/k) · Σₘ₌₁ᵏ L_m(k)

Фрактальная размерность определяется из степенного закона L(k) ∝ k^(-D) через линейную регрессию log L(k) на log(1/k).

Преимущество метода Higuchi: не требуется визуализация в двумерном пространстве, расчет выполняется непосредственно на одномерном временном ряде. Это снижает вычислительную сложность и упрощает автоматизацию.

Корреляционная размерность (Grassberger-Procaccia) анализирует распределение расстояний между точками в реконструированном фазовом пространстве. Метод чувствителен к детерминированному хаосу и позволяет отличить стохастические процессы от хаотических динамических систем.

Корреляционный интеграл определяется как:

C(r) = lim(N→∞) (1/N²) · Σᵢ,ⱼ₌₁ᴺ Θ(r — ||X_i — X_j||)

где:

• Θ — функция Хевисайда;
• r — радиус окрестности;
• ||·|| — евклидова норма;
• X_i — точки в реконструированном фазовом пространстве.

Корреляционная размерность D₂ определяется из степенного закона C(r) ∝ r^(D₂) в пределе малых r.

Сравнение методов показывает их различную чувствительность к свойствам данных:

• Box-counting оптимален для визуального анализа и интуитивной интерпретации, однако требует большого объема данных (N > 2000) для надежной оценки;
• Метод Higuchi работает с меньшими выборками (N > 500) и более устойчив к шуму;
• Корреляционная размерность отлично работает в задачах детекции низкоразмерного хаоса, однако неэффективна для высокоразмерных стохастических процессов, типичных для финансовых рынков.

Связь с волатильностью и режимами рынка

Фрактальная размерность коррелирует с режимом волатильности рынка:

• В периоды высокой волатильности D увеличивается: траектория цен становится более изломанной, с частыми разнонаправленными движениями;
• В периоды низкой волатильности D снижается: цены движутся более гладко, с меньшим количеством резких изменений направления.

Теоретическое обоснование связи: волатильность определяет масштаб флуктуаций, а фрактальная размерность — их частоту. Высокочастотные флуктуации увеличивают локальную изломанность траектории, что повышает D при фиксированном временном масштабе наблюдения.

Эмпирические исследования на данных S&P 500 показывают: в периоды кризисов (2008, 2020) фрактальная размерность возрастает до D ≈ 1.65-1.75, что соответствует антиперсистентному режиму с H ≈ 0.25-0.35. В спокойные периоды D ≈ 1.45-1.55, что близко к случайному блужданию или слабой персистентности.

Связь D с типом рынка:

• Трендовые рынки: D < 1.5, траектория относительно гладкая. Низкая размерность указывает на доминирование долгосрочных компонент движения над краткосрочным шумом. Визуально график имеет четкое направление с небольшими коррекциями;
• Флэтовые рынки с высокой волатильностью: D > 1.6, траектория сильно изломана. Высокая размерность отражает быстрые переключения направления без формирования устойчивого тренда. Внутридневная волатильность высока при отсутствии направленного движения;
• Переходные режимы: D ≈ 1.5-1.6, промежуточное состояние между трендом и флэтом. Такие периоды типичны для начала или окончания трендов, когда рынок теряет направленность но еще не перешел в полноценную консолидацию.

Практическое применение включает адаптацию параметров торговых систем к текущему значению D. При D < 1.5 увеличиваются периоды расчета индикаторов и ширина стоп-лоссов для захвата трендового движения. При D > 1.6 сокращаются таймфреймы и усиливается риск-менеджмент для защиты от высокой волатильности без тренда.

Комбинированный подход: показатель Херста + фрактальная размерность

Математическая логика объединения метрик

Совместное использование показателя Херста и фрактальной размерности создает двумерное пространство состояний рынка. Хотя D = 2 — H теоретически связывает эти метрики, практические оценки часто демонстрируют отклонения от точного соотношения из-за различий в методах расчета и чувствительности к особенностям данных.

Показатель Херста, оцененный через R/S анализ, отражает долговременную память на больших временных масштабах (от десятков до сотен наблюдений). Фрактальная размерность, особенно в методе box-counting, более чувствительна к локальной структуре на малых масштабах (единицы наблюдений). Это различие в масштабах анализа делает метрики частично независимыми индикаторами.

Построение двумерного индикатора (H, D) позволяет классифицировать рыночные режимы:

• Зона 1: H > 0.55, D < 1.45 — сильная персистентность на всех масштабах. Устойчивые тренды с гладкими траекториями. Оптимальны долгосрочные трендследящие стратегии с широкими стоп-лоссами. Риск: запаздывание детекции разворота тренда.
• Зона 2: H < 0.45, D > 1.55 — сильная антиперсистентность с высокой локальной изломанностью. Mean reversion на всех таймфреймах. Эффективны краткосрочные контртрендовые стратегии и статистический арбитраж. Риск: ложные сигналы на начале формирования нового тренда.
• Зона 3: H ≈ 0.5, D ≈ 1.5 — случайное блуждание. Отсутствие структуры для эксплуатации. Систематические стратегии неэффективны без дополнительной информации. Переход к нейтральным позициям или использование альтернативных источников сигналов.
• Зона 4: H > 0.5, D > 1.5 — долговременная персистентность с высокой краткосрочной волатильностью. Общий тренд существует, но с сильными внутритрендовыми коррекциями. Требуется балансировка: трендследящие стратегии с адаптивными стоп-лоссами, расширяющимися при росте краткосрочной волатильности.
• Зона 5: H < 0.5, D < 1.5 — долговременная антиперсистентность с гладкими локальными траекториями. Редкий режим, типичен для управляемых рынков или активов с жестким курсовым таргетированием. Mean reversion работает на долгосрочном горизонте при низком шуме на коротких периодах.

Математически степень рассогласования между H и D можно квантифицировать через метрику:

Δ = |D — (2 — H)|

где Δ > 0.1 указывает на значимое расхождение оценок, требующее осторожности в интерпретации.

Высокие значения Δ возникают при нестационарности, структурных сдвигах или наличии нескольких временных масштабов с различными свойствами.

Детекция смены режимов рынка

Траектория точки (H(t), D(t)) в двумерном пространстве индикаторов позволяет идентифицировать переходы между режимами до их проявления в ценах. Ранние сигналы смены режима возникают когда метрики начинают совместное движение в новую зону классификации.

Критическими являются переходы из зон устойчивых трендов (зона 1) в зоны высокой волатильности (зоны 2 или 4). Математически переход обнаруживается через формулы:

Скорость изменения метрик:

v_H = (H(t) — H(t-Δt)) / Δt

v_D = (D(t) — D(t-Δt)) / Δt

Направление движения в пространстве (H, D):

θ = arctan(v_D / v_H)

Евклидово расстояние от текущей точки до центра новой зоны:

d = √[(H(t) — H_центр)² + (D(t) — D_центр)²]

Алерт генерируется когда скорость |v| = √(v_H² + v_D²) превышает пороговое значение (обычно 90-й процентиль исторического распределения) и направление θ указывает на движение к границе зоны.

Практическая реализация требует учета запаздываний в интерпретации метрик. Показатель Херста на скользящем окне N = 252 наблюдения (годовые данные) обновляется ежедневно, но эффективно отражает свойства ряда за последние N/2 ≈ 126 дней. Фрактальная размерность с меньшим окном (N = 60-90) быстрее реагирует на изменения, создавая естественное разделение: D как опережающий (leading) индикатор, H как подтверждающий (confirming) индикатор.

Комбинированный сигнал смены режима формируется по правилу:

1. D пересекает критический уровень (например, D = 1.55 для перехода к высокой волатильности);
2. И в течение следующих 10-20 периодов H движется в том же направлении (снижается для подтверждения роста антиперсистентности).

Это двухэтапное подтверждение снижает количество ложных сигналов по сравнению с использованием единственной метрики.

Адаптация параметров стратегий

Динамическая корректировка параметров торговых систем на основе текущих значений (H, D) повышает устойчивость к изменениям рыночного режима. Ключевые параметры для адаптации:

Период расчета индикаторов

Базовый период P₀ масштабируется как:

P = P₀ · (H / 0.5)^α

где α ≈ 1.5-2 — параметр чувствительности.

При H = 0.6 (персистентность) период увеличивается на 30-60%, при H = 0.4 (антиперсистентность) сокращается на аналогичную величину. Это обеспечивает оптимальное соотношение чувствительности и запаздывания индикатора к текущим свойствам ряда.

Ширина стоп-лосса

Расстояние до стоп-лосса адаптируется к ожидаемой амплитуде флуктуаций:

SL = SL₀ · √(D — 1)

где SL₀ — базовая ширина.

Коэффициент √(D — 1) растет с увеличением локальной изломанности, защищая позиции от преждевременного закрытия при высокой краткосрочной волатильности без изменения долгосрочного направления.

Размер позиции

Риск на сделку масштабируется обратно пропорционально неопределенности:

Position Size = Base Size · (1 — |H — 0.5| / 0.5) · (1 — |D — 1.5| / 0.5)

Множители снижаются при отклонении метрик от нейтральных значений, уменьшая экспозицию в неопределенных или переходных режимах.

Частота ребалансировки портфеля

В режимах высокой персистентности (H > 0.6, D < 1.4) оптимальна низкая частота ребалансировки для минимизации транзакционных издержек и сохранения трендовых позиций. В антиперсистентных режимах (H < 0.4, D > 1.6) увеличение частоты ребалансировки позволяет эффективнее захватывать реверсии к среднему.

Математически оптимальная частота ребалансировки f (в днях) связана с характеристикой автокорреляций:

f ≈ 1 / |2H — 1|

При H = 0.5 (случайное блуждание) оптимальная частота не определена и зависит от внешних факторов. При H = 0.7 f ≈ 2.5 дня, при H = 0.3 f ≈ 2.5 дня. Симметричность относительно H = 0.5 отражает одинаковую скорость затухания автокорреляций для персистентных и антиперсистентных процессов с одинаковым |H — 0.5|.

Адаптивные стратегии с параметрами, привязанными к (H, D), демонстрируют меньшую просадку в периоды смены режимов по сравнению со статическими настройками. Эмпирически снижение максимальной просадки составляет 15-25% при сохранении средней доходности, что улучшает коэффициент Шарпа (Sharpe ratio) на 0.15-0.3 пункта.

Заключение

Фрактальный анализ предоставляет количественный инструментарий для диагностики структуры финансовых временных рядов за пределами классических статистических предположений:

1. Показатель Херста выявляет долговременную память и определяет оптимальный класс торговых стратегий: трендследящие для персистентных рынков, реверсивные к среднему (mean reversion) для антиперсистентных.
2. Фрактальная размерность дополняет анализ, описывая локальную сложность траектории и связь с режимом волатильности.
3. Совместное использование метрик в двумерном пространстве (H, D) создает систему раннего предупреждения о смене рыночных режимов.

Практическая значимость фрактального подхода особенно заметна в адаптивных торговых системах, где параметры стратегий динамически подстраиваются под текущие фрактальные свойства рынка. Такой подход повышает устойчивость к структурным сдвигам и снижает риск значительных просадок при неожиданных изменениях динамики цен.

Таким образом, фрактальный анализ не генерирует торговые сигналы напрямую, но задает контекст, в котором любые сигналы могут быть интерпретированы и применены более эффективно.